用反思之匙开疑难之门空间与图形教学中的疑难(2)

疑难三：言不由衷——语言叙述不严谨

七、八年级数学教材和作业的设计中对简单推理的训练不多，导致许多学生的条理性不清楚，在使用规范的数学语言表述论证的过程中，感到言不由衷，表达不准确.

案例1 结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”用几何语言叙述时，很多学生叙述成“因为CD是△ABC的中线，所以CD等于AB的一半”，漏了直角的条件.

案例2 已知：如图1，∠A=∠CDF，∠C=∠E，且AD=BF，请说明AE=DC.很显然这里要先说明△AEF≌△DCB，学生在叙述两个三角形全等时，会把AD+DF=BF+DF作为全等的条件，表述上欠规范.

图1

图2

图3

案例3 证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”时，如，已知：如图2，在△ABC中，∠C=∠B.求证：AB=AC.学生已学过等腰三角形的三线合一，因此，作辅助线时学生就会出现过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.又如，已知：如图3，AB=AC，∠C=∠B，则BD=CD，请说明理由.有许多学生这样作辅助线：连接AD使AD平分∠BAC.学生在叙述辅助线时经常出现不规范，这样的例子举不胜举.

反思 新课标指出让学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想.显而易见，数学语言的熟练准确运用是对学生的基本要求.数学语言有自身的简洁之美，能充分训练学生的逻辑思维能力，因此，教师要重视学生叙述证明过程的练习，加强对图形性质的格式化训练，如，运用性质说明理由时，一定先弄清条件；强调说理过程中的每一步都有理有据；熟记性质定理等等.为了让学生在证明过程中能完整地有条理地表述，教师要多尝试.

疑难四：一叶障目——解题思路不清晰

在空间几何图形中，需要一定空间想象能力，具备图形间的相互转化能力，而在实际教学中会发现，一些学生在分析的过程中局限于现实生活，受困于经验不够，能力不足.常常被遮挡了双眼，影响了解答的准确性和全面性.

案例1 一个台阶如图所示，阶梯每一层高20 cm，宽40 cm，长50 cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短的路程是多少？

解 按照直棱柱的表面展开图知识，最短距离为

,

但在作业中却出现了

).

事后，我问了这名学生，他说：“是沿着侧面走过来的.”

案例2 (1)有一个立方体纸盒，立方体的棱长为2 cm，在A处有一只蚂蚁，在B处有一粒蜜糖，蚂蚁想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解 只要将1平面和3平面展开，根据两点之间线段最短，可知从A到B最短路程就是线段 cm.

(2)有一个长方体纸盒，长方体的长为2 cm，宽为3 cm，高为1 cm，在A处有一只蚂蚁，在B处有一粒蜜糖，蚂蚁想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解 分为3种情况讨论知：

将1平面和2平面展开，可知从A到B路程是线段 cm;

将1平面和3平面展开，可知从A到B路程是线段 cm;

将2平面和5平面展开，可知从A到B路程是线段 cm.

两道题都属于蚂蚁爬的问题，都是通过直棱柱的表面展开图来求最短路程.在教学立方体时，由于六个面都是正方形，所以就把三种情况归结为一种情况，并未做分类讨论，从而导致了将立方体改为长方体时，学生也未进行分类讨论，学生还是想当然地认为最短路程还是将1平面和2平面展开.

案例3 如图，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=6 cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC=________cm2.

刚开始我认为用直接法来完成，可发现用直接法完成，学生在计算上存在着很大的困难.于是我想到了代数中有特殊值代入法，那么几何中是否也可以有这种特殊点代入法呢？

由于点E为AB边上的任意一点，所以将点E转化为特殊的点，即AB边上的中点或运动到A点或B点，这时问题就容易解决了，学生也容易理解.

反思 新课标中要求学生学习平移、旋转、对称的性质，学会分类、转化、归纳，欣赏体验变换在生活中的应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念.这就要求教师具备处理教材的能力：适当地增补说明，如，案例1中要对图形做一个补充规定，不考虑从侧面的路径；内容的补充扩展，如，案例2中，就要补充长方体的题型，利用第二节课进行实物演示，让学生体会到不管是立方体还是长方体，都是三种情况，必须先做分类讨论，再进行选择；解题技巧的归纳，如，案例3中，常规解法存在运算量大、运算复杂、学生难掌握的问题，采取特殊法，问题就迎刃而解了，但需用强调的是此种解法只适用于选择题和填空题中，而不适用于解答题.

文章来源：《疑难病杂志》 网址: http://www.ynbzzzz.cn/qikandaodu/2021/0511/439.html